% inledning till dokumentet som anger vilken typ av dokument det är
% och att det är svenska som gäller.
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}


\begin{document}
\section{Integral}
Beräkna integralen $\int\!x\arcsin\!x\; dx$
\par
\begin{eqnarray}
\int\!x\arcsin\!x \;dx = \frac{x^2}{2}\arcsin\!x -\int\!
\frac{x^2}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;dx =\nonumber\\
\bigg[ x=\sin\!y , y=\arcsin\!x , \frac{dx}{dy}=\cos\! y , dx=\cos\! y\;dy
\bigg]\nonumber\\
\int \frac{\sin^2\!y\cos\!y}{2\sqrt{1-\sin^2\!y}}\;dy =\nonumber\\
\frac{1}{2}\int \frac{\sin^2\!y \cos\!y}{\sqrt{\cos^2\!y}}\;dy\nonumber\\
= \frac{1}{2}\int \sin^2\!y\;dy = \frac{1}{2}\int \frac{1-\cos\!2y }{2}\;dy\nonumber\\
= \frac{1}{2}\int\frac{1}{2}\;dy-\frac{1}{2}\int\frac{\cos\!2y }{2}\;dy =\nonumber\\
\frac{1}{2}\frac{y}{2}-\frac{1}{2}\frac{\sin\!2y}{4}\nonumber\\
\frac{x^2}{2}\arcsin\!x - (\frac{y}{4}-\frac{\sin\!2y}{8})+C =\nonumber\\
\big(not.\quad \sin\!2t=2\sin\!t\cos\!t \big)\nonumber\\
\frac{x^2}{2}\arcsin\!x-\frac{\arcsin\!x}{4}+\frac{2\sin\arcsin\!x\cos\arcsin\!x}{8}+C =\nonumber\\
= (\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4})\arcsin\!x+\frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+C
\end{eqnarray}
\end{document}
