Att uppskatta avståndet till randen av Mandelbrotmängden

Niels Möller

23 april 1995

Inledning

Definitioner och beteckningar

Sätt

f_{c}(x) = z^{2} + c (1)

där c, z ∈ C. Låt f_{c}^{n} beteckna f_{c} sammansatt med sig själv n gånger, så att till exempel f_{c}^{3}(z) = (f_{c} ∘ f_{c} ∘ f_{c})(z) = f_{c}(f_{c}(f_{c}(z))).

Mandelbrotmängden definieras som mängden av de c för vilka {f_{c}^{n}(0)}_{n=0}^{∞} är begränsad;

M = {c : f_{c}^{n}(0) ↛ ∞, då n → ∞}

Man har visat att M är kompakt.

Beteckna skivan {z : |z − z_{0}| < r} med D(z_{0}, r), och låt D = D(0, 1) vara enhetsskivan. Vårt mål är att hitta uppskattningar så att vi till en punkt c_{0} ∈ M kan hitta en radie R, så att D(c_{0}, R) ⊂ M, och likadant för c_{0} ∈ M^{C}

Vi kommer att behöva Möbiustransformationen

m_{z_{0}} : D → D
(2)  z → \frac{z − z_{0}}{1 − z\overline{z_{0}}} , där z_{0} ∈ D

Vi har m_{z_{0}}(z_{0}) = 0 och m_{z_{0}}(0) = −z_{0}.

Köbes sats

Ett av de viktigaste verktygen är Köbes sats från funktionsteorin. Antag att ψ : D → Ω ⊂ C är analytisk och injektiv. Låt ω_{0} = ψ(0). Då gäller att D ( ω_{0}, \frac{1}{4} |ψ′(0)|) ⊂ Ω.

Skivor inuti M

Periodicitet

f_{c} sägs ha en attraktiv cykel av period p ≥ 1 om det finns något z_{0} sådant att

f_{c}^{p}(z_{0}) = z_{0} det vill säga att z_{0} är en fixpunkt till f_{c}^{p}
f_{c}^{k}(z_{0}) ≠ z_{0} för 1 ≤ k < p
|ρ| < 1  där ρ = \frac{d}{dz} f_{c}^{p}(z)|_{z=z_{0}}

Man har visat att en attraktiv cykel till ett polynom måste attrahera minst en kritisk punkt. I vårt fall har f_{c}(z) bara en kritisk punkt, nämligen z = 0. Vi har därför:

f_{c}(z) har en attraktiv cykel ⟹ c ∈ M

Låt H = {c : f_{c}(z)har en attraktiv cykel}. H ⊂ M, och H är öppen. Det är en öppen fråga om M = \overline{H}.

För c_{0} ∈ H, låt Ω vara den komponent av H som innehåller c_{0}. För varje c ∈ Ω finns precis en attraktiv cykel, och deras respektive perioder är en och samma, vi kallar den p.

Avbildningen ρ_{Ω}

För varje c ∈ Ω, låt z_{0} vara en av punkterna i den attraktiva cykeln, och sätt ρ = \frac{d}{dz} f_{c}^{p}(z)|_{z=z_{0}}, som ovan. Notera att ρ inte beror av vilken av punkterna i cykeln vi väljer, eftersom ρ enligt kedjeregeln är produkten av derivatorna \frac{d}{dz} f_{c}(z) utvärderade i samtliga punkter z i cykeln. Definiera

ρ_{Ω} : Ω → D
c → ρ

ρ_{Ω} är analytisk, och man har visat att den är bijektiv, och går att utvidga kontinuerligt till en avbildning \overline{Ω} → \overline{D}.

Sätt nu ω_{0} = ρ_{Ω}(c_{0}), och betrakta avbildningen ψ = m_{ω_{0}} ∘ ρ_{Ω}. ψ är en analytisk och bijektiv avbildning Ω → D, med ψ(c_{0}) = 0. Även inversen ψ^{−1} är analytisk och bijektiv, och uppfyller därför förutsättningarna i Köbes sats, så att

D (c_{0}, \frac{1}{4} |\frac{d}{dω} ψ^{−1}(0)|) ⊂ Ω

Den sökta uppskattningen är alltså

R = \frac{1}{4} |\frac{d}{dω} ψ^{−1}(0)| = \frac{1}{4} \frac{1}{|ψ′(c_{0})|}

där ψ′(c_{0}) ≠ 0 eftersom ψ är inverterbar och c_{0} är en inre punkt i definitionsområdet Ω.

Beräkning av R

För att räkna ut R behöver vi

ψ′(c_{0}) = \frac{d}{dc} (m_{ω_{0}} ∘ ρ_{0}) (c_{0})

= m′_{ω_{0}}(ω_{0}) · \frac{d}{dc} (\frac{d}{dz} f_{c}^{p}(z_{0})) |_{c=c_{0}} (3)

Ur ekvation (2) fås

m′_{ω_{0}}(ω_{0}) = \frac{1}{1 − |ω_{0}|^{2}} = \frac{1}{1 − |\frac{d}{dz} f_{c_{0}}^{p}(z_{0})|^{2}}

I den andra faktorn i (3) måste man ta hänsyn till att z_{0} beror av c;

\frac{d}{dc} (\frac{d}{dz} f_{c}^{p}(z_{0})) |_{c=c_{0}} = \frac{∂^{2}}{∂c∂z} f_{c}^{p}(z)|_{\begin{matrix}c=c_{0} \\ z=z_{0} \end{matrix}} + \frac{d^{2}}{dz^{2}} f_{c_{0}}^{p}(z_{0})\frac{dz_{0}}{dc} |_{c=c_{0}}

Resultatet blir

R = \frac{1}{4} \frac{1 − |\frac{d}{dz} f_{c_{0}}^{p}(z_{0})|^{2}}{|\frac{∂^{2}}{∂c∂z} f_{c}^{p}(z)|_{\begin{matrix}c=c_{0} \\ z=z_{0} \end{matrix}} + \frac{d^{2}}{dz^{2}} f_{c_{0}}^{p}(z_{0})\frac{dz_{0}}{dc} |_{c=c_{0}} |} (4)

För praktiskt bruk går det inte att bestämma z_{0} och p exakt. Då kan man ta ett stort N, ersätta z_{0} med f_{c_{0}}^{N}(0), och ta det lägsta p som uppfyller |f_{c}^{p}(z_{0}) − z_{0}| = |f_{c}^{N+p}(0) − f_{c}^{N}(0)| < ϵ. Sedan kan derivatorna i (4) bestämmas genom iteration av (1) p steg. Till exempel bestäms \frac{d}{dz} f_{c_{0}}^{p}(z_{0}) genom

\begin{cases}\frac{d}{dz} f_{c_{0}}^{1}(z_{0}) & = 2z_{0} \\ \frac{d}{dz} f_{c_{0}}^{m}(z_{0}) & = \frac{d}{dz} (f_{c_{0}}^{m−1}(z_{0})^{2} + c) = 2f_{c_{0}}^{m−1}(z_{0}) · \frac{d}{dz} f_{c_{0}}^{m−1}(z_{0}) \end{cases}

Skivor utanför M

Greensfunktionen till M

Greensfunktionen för M ges av

G_{M}(c) = lim_{n→∞} \frac{1}{2^{n}} |f_{c}^{n}(c)| = lim_{n→∞} \frac{1}{2^{n}} |f_{c}^{n+1}(0)| (5)

G_{M} är harmonisk, och därmed även kontinuerlig, på hela C. Dessutom gäller

G_{M}(c) ≥ 0

G_{M}(c) = 0 ⟺ c ∈ M

\frac{G_{M}(c)}{ln(c)} → 1 då c → ∞

Nu vill vi ha en analytisk funktion Φ_{M} sådana att G_{M}(c) = ln|Φ_{M}(c)| för c ∉ M. Genom att välja gren i logaritmfunktionen omsorgsfullt kan man definiera

Φ_{M}(c) = lim_{n→∞} (f_{c}^{n+1}(0))^{\frac{1}{2^{n}}} (6)

Man har visat att Φ_{M} är en analytisk och bijektiv avbildning M^{C} → C − \overline{D}. Φ_{M} utvidgas analytiskt till M^{C} ∪ {∞} genom att sätta Φ_{M}(∞) = ∞.

Definiera r(z) = \frac{1}{z}. Låt c_{0} ∉ M vara fixt, och sätt ω_{0} = \frac{1}{Φ_{M} (c_{0})}. Då blir ϕ = m_{ω_{0}} ∘ r ∘ Φ_{M} en analytisk och bijektiv funktion M^{C} → D, med ϕ(c_{0}) = 0. Köbes sats tillämpad på ϕ^{−1} ger nu att

D (c_{0}, \frac{1}{4} \frac{1}{|ϕ′(c_{0})|}) ⊂ M^{C}

Beräkning av R

Vi har

ϕ′(c_{0}) = \frac{1}{1 − |ω_{0}|^{2}} · (−ω_{0}^{2}) · Φ′_{M}(c_{0}) (7)

Genom att derivera (6) fås

Φ′_{M}(c) = lim_{n→∞} \{\frac{1}{2^{n}} e^{\frac{1}{2^{n}} log f_{c}^{n+1}(0)} · \frac{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n+1}(0)}{f_{c}^{n+1}(0)}\}

\begin{aligned}|Φ_{M}(c_{0})| & = lim_{n→∞} \{\frac{1}{2^{n}} e^{\frac{1}{2^{n}} ln|f_{c_{0}}^{n+1}(0)|} · | \frac{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n+1}(0)|_{c=c_{0}}}{f_{c_{0}}^{n+1}(0)} |\} \\ & = 2e^{G_{M} (c_{0})} lim_{n→∞} \{\frac{1}{2^{n}} \frac{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n}(0)|_{c=c_{0}}}{f_{c_{0}}^{n}(0)} \} \end{aligned}

Om detta tillsammans med |ω_{0}| = \frac{1}{|Φ_{M} (c_{0})|} = e^{−G_{M} (c_{0})} sätts in i (7) fås

\frac{1}{|ϕ′(c_{0})|} = \frac{e^{G_{M} (c_{0})} − e_{M}^{G}(c_{0})}{2} · lim_{n→∞} 2^{n} | \frac{f_{c}^{n}(0)}{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n}(0)|_{c=c_{0}}} |

= sinh ( lim_{n→∞} \frac{1}{2^{n}} ln|f_{c}^{n}(0)|) · lim_{n→∞} 2^{n} | \frac{f_{c}^{n}(0)}{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n}(0)|_{c=c_{0}}} |

sinh x ≥ x för x ≥ 0 ger nu att

\begin{aligned}\frac{1}{|ϕ′(c_{0})|} & ≥ lim_{n→∞} \{\frac{1}{2^{n}} ln|f_{c}^{n}(0)| · 2^{n} | \frac{f_{c}^{n}(0)}{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n}(0)|_{c=c_{0}}} |\} \\ & = 2 lim_{n→∞} \frac{|f_{c}^{n}(0)| ln|f_{c}^{n}(0)}{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n}(0)} \end{aligned}

Om vi väljer

R = \frac{1}{2} lim_{n→∞} \frac{|f_{c}^{n}(0)| ln|f_{c}^{n}(0)}{\frac{∂}{∂c}f_{c}^{n}(0)}

får vi en skiva utanför M, som önskat, ty

D(c_{0}, R) ⊂ D (c_{0}, \frac{1}{4} \frac{1}{|ϕ′(c_{0})|}) ⊂ M^{C}

Referenser

Jag har läst artiklarna

Bodil Branner: “The Mandelbrot Set” i boken “Chaos and Fractals. The Mathematics

Behind the Computer Graphics”, ed R. L. Devaney och L. Keen.

Yuval Fisher: “Exploring the Mandelbrot Set” i “The Science of Fractal Images”, ed

H. O. Peitgen och D. Saupe. Bevis av de tyngre resultaten lär finnas i

H. Brolin: “Invariant sets under iteration of rational functions”, Ark. Mat. 6 (1965),

s 103-144

A. Doudy: “Systèmes dynamiques holomorphes”, Sém. Bourbaki, 35e anné, #599,

Asterisque 105-106, 1986, 161-173.

A. Doudy och J. H. Hubbard “Étude dynamique des polynômes complexes, I, II, Publ. Math. Orsay, 1984, 1985.