\documentclass[a4paper, righttag]{article}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage{isolatin1}
% alternativ magi: \usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amstex,amssymb}

\title{Att uppskatta avståndet till randen av Mandelbrotmängden}

\author{Niels Möller}

\setcounter{secnumdepth}{-2}

\begin{document}
\maketitle

\section{Inledning}
\subsection{Definitioner och beteckningar}

Sätt
\begin{equation}
  \label{eq:def_f}
  f_c(x) = z^2 + c
\end{equation}
där $c,z \in C$. Låt $f_c^n$ beteckna $f_c$ sammansatt med sig själv
$n$ gånger, så att till exempel $f_c^3(z) = (f_c \circ f_c \circ f_c)(z) =
f_c(f_c(f_c(z)))$.

Mandelbrotmängden definieras som mängden av de c för vilka
$\{f_c^n(0)\}_{n=0}^{\infty}$ är begränsad;
\begin{equation*}
  M=
  \left\{
    c\ :\ f_c^n(0) \not\to \infty,\ \text{då}\ n \to \infty
  \right\}
\end{equation*}
Man har visat att $M$ är kompakt.

Beteckna skivan $\{z\ : \ |z-z_{0}| < r\}$ med $D(z_{0}, r)$, och låt
$D=D(0,1)$ vara enhetsskivan. Vårt mål är att hitta uppskattningar så
att vi till en punkt $c_{0}\in M$ kan hitta en radie $R$, så att
$D(c_{0},R) \subset M$, och likadant för $c_{0} \in M^{C}$

Vi kommer att behöva Möbiustransformationen
\begin{align}
  m_{z_{0}}: D &\to D \notag\\
  z &\to \frac{z-z_{0}}{1-z\overline{z_{0}}} \label{eq:mobius}
  \quad \text{, där}\ z_{0}\in D
\end{align}
Vi har $m_{z_{0}}(z_{0})=0$ och $m_{z_{0}}(0)=-z_{0}$.

\subsection{Köbes sats}
Ett av de viktigaste verktygen är Köbes sats från funktionsteorin.

\noindent{\bf Antag} att $\psi: D\to\Omega\subset C$ är analytisk och
injektiv. Låt $\omega_{0} = \psi(0)$. \\
Då gäller att 
$D\left(\
  \omega_{0}, \frac14\left|\psi'(0)\right|
\right) \subset \Omega$.

\section{Skivor inuti $M$}
\subsection{Periodicitet}
$f_{c}$ sägs ha en attraktiv cykel av period $p\geq 1$ om det finns något
$z_{0}$ sådant att 
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    f_{c}^{p}(z_{0})=z_{0} 
    &\text{det vill säga att $z_{0}$ är en fixpunkt till $f_{c}^{p}$} \\
    f_{c}^{k}(z_{0})\neq z_{0} 
    &\text{för $1\leq k < p$} \\
    |\rho| < 1 
    &\text{där $\rho = \frac{d}{dz}f_{c}^{p}(z)|_{z=z_{0}}$}
  \end{cases}
\end{equation*}

Man har visat att en attraktiv cykel till ett polynom måste attrahera
minst en kritisk punkt. I vårt fall har $f_{c}(z)$ bara en kritisk
punkt, nämligen $z=0$. Vi har därför:
\begin{equation*}
f_{c}(z) \text{ har en attraktiv cykel} \implies c \in M
\end{equation*}
Låt $H = \{c\ :\ f_{c}(z) \text{har en attraktiv cykel}\}$. $H \subset
M$, och $H$ är öppen. Det är en öppen fråga om $M = \overline{H}$.

För $c_0 \in H$, låt $\Omega$ vara den komponent av $H$ som
innehåller $c_0$. För varje $c \in \Omega$ finns precis en attraktiv
cykel, och deras respektive perioder är en och samma, vi kallar den
$p$.

\subsection{Avbildningen $\rho_{\Omega}$}

För varje $c \in \Omega$, låt $z_{0}$ vara en av punkterna i den
attraktiva cykeln, och sätt
$\rho=\frac{d}{dz}f_{c}^{p}(z)|_{z=z_{0}}$, som ovan. Notera att
$\rho$ inte beror av vilken av punkterna i cykeln vi väljer, eftersom
$\rho$ enligt kedjeregeln är produkten av derivatorna
$\frac{d}{dz}f_{c}(z)$ utvärderade i samtliga punkter $z$ i cykeln.
Definiera
\begin{align*}
  \rho_{\Omega}: \Omega &\to D \\
  c &\to \rho
\end{align*}
$\rho_{\Omega}$ är analytisk, och man har visat att den är bijektiv,
och går att utvidga kontinuerligt till en avbildning
$\overline{\Omega} \to \overline{D}$.

Sätt nu $\omega_{0} = \rho_{\Omega}(c_0)$, och betrakta avbildningen
$\psi=m_{\omega_{0}} \circ \rho_{\Omega}$. $\psi$ är en analytisk och
bijektiv avbildning $\Omega \to D$, med $\psi(c_{0}) = 0$.  Även
inversen $\psi^{-1}$ är analytisk och bijektiv, och uppfyller därför
förutsättningarna i Köbes sats, så att
\begin{equation*}
  D\left(
    c_0, \frac14
    \left|
      \frac{d}{d\omega}\psi^{-1}(0)
    \right|
  \right) \subset \Omega
\end{equation*}
Den sökta uppskattningen är alltså 
\begin{equation*}
  R=\frac14
  \left|
    \frac{d}{d\omega}\psi^{-1}(0)
  \right| = \frac14
  \frac{1}{|\psi'(c_0)|}
\end{equation*}
där $\psi'(c_0) \neq 0$ eftersom $\psi$ är inverterbar och $c_0$ är en
inre punkt i definitionsområdet $\Omega$.

\subsection{Beräkning av $R$}
För att räkna ut $R$ behöver vi
\begin{align}
  \psi'(c_0) &= \frac{d}{dc}
  \left(
    m_{\omega_0} \circ \rho_0
  \right)
  (c_0) \notag \\ 
  &= m_{\omega_0}'(\omega_0) \cdot\frac{d}{dc}
  \left(
    \frac{d}{dz}f_c^p(z_0)
  \right)
  |_{c=c_0} \label{eq:dpsi}
\end{align}
Ur ekvation (\ref{eq:mobius}) fås
\begin{equation*}
  m_{\omega_0}'(\omega_0) = \frac{1}{1-|\omega_0|^2} =
  \frac{1}{1 -
    \left|
      \frac{d}{dz}f_{c_0}^p(z_0)
    \right|
    ^2}
\end{equation*}
I den andra faktorn i (\ref{eq:dpsi}) måste man ta hänsyn till att
$z_0$ beror av $c$;
\begin{equation*}
  \frac{d}{dc}
  \left(
    \frac{d}{dz}f_c^p(z_0)
  \right)
  |_{c=c_0} = \frac{\partial^2}{\partial c \partial z}
  f_c^p(z)|_{
    \begin{Sb}
      c=c_0 \\ z = z_0
    \end{Sb}} +
  \frac{d^2}{dz^2}f_{c_0}^p(z_0) \frac{dz_0}{dc}|_{c=c_0}
\end{equation*}

Resultatet blir
\begin{equation}
  \label{eq:R_inne}
  R = \frac14 \frac{1-
    \left|
      \frac{d}{dz}f_{c_0}^p(z_0)
    \right|
    ^2}{
    \left|
      \frac{\partial^2}{\partial c \partial z} f_c^p(z)|_{
        \begin{Sb}
          c=c_0 \\ z = z_0
        \end{Sb}}
      + \frac{d^2}{dz^2}f_{c_0}^p(z_0) \frac{dz_0}{dc}|_{c=c_0}
    \right|}
\end{equation}

För praktiskt bruk går det inte att bestämma $z_0$ och $p$ exakt. Då
kan man ta ett stort $N$, ersätta $z_0$ med $f_{c_0}^N(0)$, och ta
det lägsta $p$ som uppfyller $|f_c^p(z_0) - z_0| = |f_c^{N+p}(0) -
f_c^N(0)|<\epsilon$. Sedan kan derivatorna i (\ref{eq:R_inne})
bestämmas genom iteration av (\ref{eq:def_f}) $p$ steg. Till exempel
bestäms $\frac{d}{dz}f_{c_0}^p(z_0)$ genom
\begin{eqnarray*}
  \begin{cases}
    \frac{d}{dz} f_{c_0}^1(z_0) &= 2z_0 \\
    \frac{d}{dz} f_{c_0}^m(z_0) &= \frac{d}{dz}
    \left(
      f_{c_0}^{m-1}(z_0)^2+c
    \right)
    = 2f_{c_0}^{m-1}(z_0) \cdot
    \frac{d}{dz} f_{c_0}^{m-1}(z_0)
  \end{cases}
\end{eqnarray*}


\section{Skivor utanför $M$}

\subsection{Greensfunktionen till $M$}

Greensfunktionen för $M$ ges av
\begin{equation}
  \label{eq:green}
  G_M(c) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}
  \left|
    f_c^n(c)
  \right|
  = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}
  \left|
    f_c^{n+1}(0)
  \right|
\end{equation}
$G_M$ är harmonisk, och därmed även kontinuerlig, på hela
$C$. Dessutom gäller
\begin{gather*}
  G_M(c) \geq 0 \\
  G_M(c) = 0 \iff c \in M \\
  \frac{G_M(c)}{ln(c)} \to 1 \text{\ då\ } c \to \infty
\end{gather*}

Nu vill vi ha en analytisk funktion $\Phi_M$ sådana att
$G_M(c)=ln|\Phi_M(c)|$ för $c \notin M$. Genom att välja gren i
logaritmfunktionen omsorgsfullt kan man definiera
\begin{equation}
  \label{eq:Phi_M}
  \Phi_M(c) = \lim_{n \to \infty}
  \left(
    f_c^{n+1}(0)
  \right)^{\frac{1}{2^n}}
\end{equation}
Man har visat att $\Phi_M$ är en analytisk och bijektiv avbildning
$M^C \to C-\overline{D}$. $\Phi_M$ utvidgas analytiskt till $M^C
\cup \{\infty\}$ genom att sätta $\Phi_M(\infty) = \infty$.

Definiera $r(z) = \frac1z$. Låt $c_0 \notin M$ vara fixt, och sätt
$\omega_0=\frac{1}{\Phi_M(c_0)}$. Då blir $\phi = m_{\omega_0} \circ r
\circ \Phi_M$ en analytisk och bijektiv funktion $M^C \to D$, med
$\phi(c_0) = 0$. Köbes sats tillämpad på $\phi^{-1}$ ger nu att
\begin{equation*}
  D\left(
    c_0, \frac14 \frac{1}{|\phi'(c_0)|}
  \right) \subset M^C
\end{equation*}

\subsection{Beräkning av $R$}
Vi har
\begin{equation}
  \label{eq:dphi}
  \phi'(c_0) = \frac{1}{1-|\omega_0|^2} \cdot (- \omega_0^2) \cdot
  \Phi_M'(c_0) 
\end{equation}
Genom att derivera (\ref{eq:Phi_M}) fås
\begin{equation*}
  \Phi_M'(c) = \lim_{n \to \infty}
  \left\{
    \frac{1}{2^n} e^{\frac{1}{2^n} log \ f_c^{n+1}(0)}
    \cdot \frac{ \frac{\partial}{\partial c} f_c^{n+1}(0)}
    {f_c^{n+1}(0)}
  \right\}
\end{equation*}
\begin{equation*}
  \begin{split}
    |\Phi_M(c_0)| &= \lim_{n \to \infty}
    \left\{
      \frac{1}{2^n} e^{\frac{1}{2^n} ln |f_{c_0}^{n+1}(0)|}
      \cdot \left|
        \frac{\frac{\partial}{\partial c} f_c^{n+1}(0)|_{c=c_0} }
        {f_{c_0}^{n+1}(0)}
      \right|
    \right\} \\
    &= 2e^{G_M(c_0)}
    \lim_{n \to \infty}
    \left\{
      \frac{1}{2^n} \frac{\frac{\partial}{\partial c} f_c^n(0)|_{c=c_0} }
      {f_{c_0}^{n}(0)}
    \right\}
  \end{split}
\end{equation*}
Om detta tillsammans med $|\omega_0| = \frac{1}{|\Phi_M(c_0)|} =
e^{-G_M(c_0)}$ sätts in i (\ref{eq:dphi}) fås
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \frac{1}{|\phi'(c_0)|} &=
    \frac{e^{G_M(c_0)}-e^G_M(c_0)}{2} \cdot \lim_{n \to \infty} 2^n
    \left|
      \frac{f_c^n(0)}{\frac{\partial}{\partial c} f_c^n(0)|_{c=c_0}}
    \right| \\
    &= sinh
    \left(
      \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} ln|f_c^n(0)|
    \right)
    \cdot \lim_{n \to \infty} 2^n
    \left|
      \frac{f_c^n(0)}{\frac{\partial}{\partial c} f_c^n(0)|_{c=c_0}}
    \right|
  \end{split}
\end{equation*}
$sinh\ x \geq x$ för $x \geq 0$ ger nu att
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \frac{1}{|\phi'(c_0)|} &\geq \lim_{n \to \infty}
    \left\{
      \frac{1}{2^n} ln|f_c^n(0)| \cdot  2^n
      \left|
        \frac{f_c^n(0)}{\frac{\partial}{\partial c} f_c^n(0)|_{c=c_0}}
      \right|
    \right\} \\
    &= 2 \lim_{n \to \infty}
    \frac{|f_c^n(0)|\ ln|f_c^n(0)}{\frac{\partial}{\partial c} f_c^n(0)}
  \end{split}
\end{equation*}
Om vi väljer
\begin{equation*}
  R =  \frac12 \lim_{n \to \infty}
  \frac{|f_c^n(0)|\ ln|f_c^n(0)}{\frac{\partial}{\partial c} f_c^n(0)}
\end{equation*}
får vi en skiva utanför $M$, som önskat, ty
\begin{equation*}
  D(c_0,R) \subset D
  \left(
    c_0, \frac14 \frac{1}{|\phi'(c_0)|}
  \right)
  \subset M^C
\end{equation*}

\section{Referenser}
Jag har läst artiklarna
\begin{itemize}
\item[Bodil Branner:] ``The Mandelbrot Set'' i boken ``Chaos and
  Fractals. The Mathematics Behind the Computer Graphics'', ed
  R.~L.~Devaney och L.~Keen.
\item[Yuval Fisher:] ``Exploring the Mandelbrot Set'' i ``The Science of
Fractal Images'', ed H.~O.~Peitgen och D.~Saupe.
\end{itemize}
Bevis av de tyngre resultaten lär finnas i
\begin{itemize}
\item[H. Brolin:] ``Invariant sets under iteration of rational
  functions'', Ark. Mat. 6 (1965), s 103-144
\item[A. Doudy:] ``Systèmes dynamiques holomorphes'', Sém. Bourbaki,
  35e anné, \#599, Asterisque 105-106, 1986, 161-173.
\item[A. Doudy och J. H. Hubbard] ``Étude dynamique des polynômes
  complexes, I, II, Publ. Math. Orsay, 1984, 1985.
\end{itemize}

\end{document}
